Qbi's Weblog

Kürzlich ging eine Erschütterung durch die Welt der Kryptografie. Das Paper Quantum Algorithms for Lattice Problems versprach einen neuen Angriff gegen bestimmte Algorithmen. Diese heißen Learning-With-Errors (LWE) und bilden eine Grundlage für Algorithmen, die gegen Quantencomputer sicher sein sollen. Hier spielt eine Menge Mathematik mit hinein. Als Beispiel seht ihr eine halbe Seite aus dem Paper:

Das Thema klang hinreichend interessant und ich wollte mich ein wenig einlesen. Zum konkreten Paper muss man sagen, dass mittlerweile ein Fehler im Algorithmus gefunden wurde und die Autoren schreiben:

Now the claim of showing a polynomial time quantum algorithm for solving LWE with polynomial modulus-noise ratios does not hold.

Beim Lesen fiel mir wieder etwas auf, was mir schon früher auffiel. Es gibt Sätze, die kommen recht unschuldig daher und klingen leicht verständlich. Dennoch steckt soviel Theorie dahinter, dass es eine Weile dauern könnte, um diese zu durchdringen.

Gleich in der Einführung findet sich ein Beispiel: An n-dimensional lattice L is a discrete additive subgroup of ℝⁿ. (Ein n-dimensionales Gitter L ist eine diskrete additive Untergruppe von ℝⁿ.)

Welche Begriffe muss man verstehen oder interpretieren können, um die Definition zu verstehen?

1. n-dimensional
2. diskrete additive Untergruppe
3. ℝⁿ

Das heißt, nahezu jedes Wort ist erklärungsbedürftig und mit Schulwissen kaum zu durchdringen. Wenn wir jetzt die Wikipedia konsultieren, kommen wir ein Stück weiter. Dort findet sich auch eine Definition des Gitters als diskrete Untergruppe eines euklidischen Raums sowie einige Beispiele. Wenn wir beide Definitionen vergleichen, steht in dem Paper zusätzlich das Wort additiv und anstatt euklidischer Raum wird von ℝⁿ gesprochen. Aus der Wikipedia-Seite zum euklidischen Raum wird schnell klar, dass ℝⁿ ein euklidischer Raum ist. Also sind beide Definitionen ähnlich. Das heißt, mit kleinen Einschränkungen können wir mit der Wikipedia-Definition weiterarbeiten.

Um den Satz nun zu verstehen, sollten wir uns dem zweiten Begriff, der diskreten additiven Untergruppe, zuwenden. Beim Aufdröseln ergeben sich neue Begriffe, die man entweder kennen oder lernen muss.

• Untergruppe
  • Eine Untergruppe hat eine Verknüpfung (Addition, Multiplikation etc.) und bildet eine Gruppe.
    • Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung (Addition, Multiplikation etc.). Bei der Verknüpfung ist es egal, wie man Klammern setzt (Assoziativgesetz), es gibt ein so genanntes neutrales Element und ein inverses Element. Wenn man ein neutrales Element verknüpft, ändert sich nichts, so wie bei einer Addition mit 0. Wenn man ein Element der Menge mit dessem inversen Element verknüpft, erhält man das neutrale Element (12-12=0 bei der Addition, -12 ist das inverse Element).
• Additive Untergruppe
  • Das ist eine Untergruppe, wo die Verknüpfung Addition heißt.
• Diskrete Untergruppe
  • Eigentlich geht es hier um diskrete Teilmengen eines Raumes mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass diese Teilmenge eine Untergruppe bildet.
  • Eine Teilmenge ist, wie der Name schon sagt, ein Teil der Menge.
  • Diskret bedeutet nun, dass jedes Element der Menge eine Umgebung hat, dass kein weiteres Element der Teilmenge enthält. Das heißt, die einzelnen Elemente der Menge sind isolierte Punkte.
  • Die ganzen Zahlen …, -2, -1, 0, 1, 2, … sind als Teilmenge der reellen Zahlen eine solche Menge. Denn bei jeder Zahl gibt es nach links und rechts einen Abstand, wo sich keine andere Zahl drin findet. Bei den Brüchen (rationale Zahlen) ist das anders. Dort finden sich keine zwei Zahlen mit einem kleinen Abstand, dass keine andere rationale drin läge. Daher ist das keine diskrete Teilmenge.
• ℝⁿ
  • ℝⁿ ist der n-dimensionale Raum der reellen Zahlen. Aus der Schule kennt man ℝ¹ (Zahlenstrahl), ℝ² (Zahlenebene) und ℝ³ (dreidimensionaler Raum).

Damit haben wir alle Bauteile zusammen, um den obigen Satz zu verstehen. Wobei ich zugeben, muss, dass ich oben einige Abkürzungen genommen habe und auf intuitives Verständnis gesetzt habe. Dennoch reicht das in der Mathematik oftmals nicht. Es ist sinnvoll, sich Beispiele auszudenken. Diese sollten sowohl den positiven Fall abdecken (erfüllt die Definition), aber auch den negativen Fall (erfüllt die Definition nicht). Das sorgt dann wirklich für ein Verständnis des Ganzen.

Das war es auch, was ich am Anfang meinte, als ich von dem kleinen unschuldig klingenden Satz schrieb. Um den zu verstehen, muss man entweder tief im irgendwann mal Erlernten graben oder neues lernen und es dauert eine längere Zeit, bis man ein Paper einmal durchgearbeitet hat. Noch viel länger dauert es, bis man es verstanden hat.

Der obige Satz war der Einstieg in das Paper und nur die Einleitung. Später geht es um gaussche Funktionen und Fouriertransformationen. Das sind Konzepte über die es semesterlange Vorlesungen gibt. Das heißt, um das zu verstehen, kann man wirklich aus den Tiefen der Mathematik schöpfen. Ich wünsche euch viel Spaß bei der Lektüre.

Mit dem Paper haben sich einige andere auseinandergesetzt. Hier findet ihr interessante Lektüre dazu:

• Implications of the Proposed Quantum Attack on LWE
• A quick post on Chen’s algorithm

Die Nachrichten über die schlimmen Terroranschläge in Brüssel ziehen am Nachrichtenticker vorbei und schon beginnen wieder die üblichen Diskussionen. Die Innenpolitiker fordern mehr Überwachung, andere machen die Flüchtlinge oder Angela Merkel verantwortlich, wieder andere weisen darauf hin, dass Flüchtlinge gerade vor dem Terror geflohen sind etc. Es tauchen auch, wie bei anderen Anschlägen, Meldungen auf, dass die Kriminellen schon vorab den Behörden bekannt waren und es wird die Frage gestellt, warum nichts gemacht wurde. Einer der Gründe ist die Mathematik, die gegen die Behörden spielt. Warum ist das so?

Zu Anfang treffe ich ein paar Annahmen: Ich verwende Belgien als Beispiel. Das Land hat ca. 11 Millionen Einwohner. Weiterhin bräuchte ich eine Zahl potenzieller Terroristen. Jetzt nehme ich mal an, es gäbe nur islamistischen Terrorismus. In Deutschland meldet das Bundesamt für Verfassungsschutz ein islamistisches Personenpotenzial von knapp 44.000 Menschen. Angenommen die Zahl lässt sich 1:1 auf Belgien übertragen, so leben dort gerundet 5.500 Menschen mit einem islamistischen Personenpotenzial. Das Ziel der Behörden ist nun, diese Personen zuverlässig zu filtern und ggf. zu beobachten.

Dazu werden Überwachungs-, Datenauswerte- und Kontrollmaßnahmen installiert. Das System ist so leistungsfähig, dass es 99,9% aller Terroristen erkennt. Also nur in einem Tausendstel der Fälle wird ein Terrorist nicht als solcher erkannt. Aber es erkennt auch Normalbürger in einem Prozent der Fälle fälschlicherweise als Terroristen.

Das System ist in Betrieb und bringt einen Alarm, dass es einen Terroristen erkannt hat. Aber ist dies wirklich einer und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit? Geht mal in euch und versucht, eine Schätzung abzugeben.

Um die Frage zu beantworten, stellen wir uns vor, dass System würde ganz Belgien durchleuchten. Es würden also 5.495 Terroristen erkannt werden. Daneben erkennt das System auch 110.000 Einwohner als Terroristen, die keine sind. Das heißt, insgesamt wird 115.495 Mal Alarm geschlagen. Aber der Alarm war nur in 4,7 % der Fälle korrekt. Das heißt, das System schlägt in mehr als 95 % der Fälle falschen Alarm.

Das heißt, dass zwar viele Personen und besonders viele Terroristen von so einem System erkannt würden. Dennoch sind auch hier die Mehrzahl unbescholtene Bürger und die Strafverfolger haben die Arbeit, korrekt zu filtern. Diese Arbeit sieht im Nachhinein sehr einfach aus. Aber üblicherweise fehlen bei der Suche vor einem Anschlag viele konkrete Hinweise. Letztlich müssen wir akzeptieren, dass es perfekte Sicherheit nicht herstellbar ist. Ich bin der Meinung, dass nicht mehr Überwachung, Datenaustausch und Repression die Lösung ist, sondern die Politik (»wir«) sollte sich Gedanken machen, wo die Gründe liegen und diese beseitigen.

Gestern war ich auf dem IT-Sicherheitstag bei der IHK Gera eingeladen. Dort hielten verschiedene Fachleute Vorträge oder Workshop. Die einleitenden Vorträge kamen von einem Experten für Spionageabwehr beim Bundesamt für Verfassungsschutz und von mir.

Der Referent des Verfassungsschutzes erklärte, woher die Bedrohungen für die Wirtschaft kommen, wie die aussehen können und was die Firmen dagegen tun können.

Woher kommen die Bedrohungen? Anfangs wurden insbesondere Russland und China mit ihren diversen Einheiten genannt. Die im weiteren Vortrag folgenden Beispiele wurden immer von chinesischen Bürgern ausgeführt. Zum Abschluss stellte der Redner fest, dass der Verfassungsschutz ja einen 360°-Blick hat und es keine Bedrohungen von westlichen Diensten gibt. Hauptgrund war die Tatsache, dass es keine Anzeigen aus der Wirtschaft gibt. Bedeutet das, dass Spionageabwehr nur aus dem Warten auf Anzeigen besteht?

Ich griff den Ball dann in meinem Vortrag nochmal auf und verwies auf den Fall Enercon, wo die NSA spionierte. Daneben verwies ich auf den DGSE und andere Dienste, deren Ziel Wirtschaftsspionage ist und in deren Fokus auch westliche Unternehmen stehen.

Der Vortrag des BfV-Referenten hatte viele Filme zur Illustration dabei. Wenn es dabei um Wirtschaftsspionage ging, kamen die Beispiele aus der Schweiz oder Österreich. Ich fragte mich, warum es keine Beispiele deutscher Unternehmen gibt und was das BfV mit schweizer oder österreicher Unternehmen zu tun hat. Eigentlich soll die Behörde Informationen sammeln, die sich gegen die FDGO richten oder deutsche Unternehmen gefährden.

Den Abschluss des Vortrages bildete ein wenig Werbung für die Behörde. Den schließlich würde diese diskret mit Informationen umgehen und, was dem Vortragenden wichtig zu sein schien, sie unterliegt nicht dem Legalitätsprinzip. Das heißt, bei Kenntnis von Straftaten müssen diese nicht angezeigt werden.

Insgesamt hinterließ der Vortrag bei mir einen recht faden Beigeschmack und bestätigte mein Bild von den »Verfassungsschützern«.

Heute gibt es wieder eine Veranstaltungsankündigung. Am morgigen Dienstag, dem 09. September 2014, werde ich zusammen mit Martina Renner einen Vortrag mit anschließender Podiumsdiskussion in Jena halten. In der Veranstaltung geht es um den NSA-Untersuchungsausschuss. Zu Anfang werden wir einige Details zur NSA, zu deren Überwachungsprogrammen und zu den Entwicklungen beim Untersuchungsausschuss erzählen. Anschließend stellen wir uns den Fragen aus dem Publikum.

Wer teilnehmen mag, sollte vor 18 Uhr im Hörsaal 8 im Unigebäude in der Carl-Zeiss-Str. 3 sein.

In München treffen sich in dieser Woche Vertreter des Tor-Projektes zum Summer-Dev-Meeting. Neben den internen Besprechungen gibt es zwei interessante Veranstaltungen für die Öffentlichkeit.

1. Vortrag »Tor and the Censorship Arms Race: Lessons Learned«
   Roger Dingledine und Jacob Appelbaum berichten über ihre Erfahrungen in der Umgehung von Zensur. Tor ist in dieser Beziehung ein sehr wichtiges und sicheres Werkzeug. Der Vortrag findet am 24. Juli 2013 ab 18 Uhr im Hörsaal 1 des LRZ statt (siehe Bild unten).
2. Tor Hack Day
   Am Freitag findet dann ein öffentlicher Hackday statt. Ihr könnt dort verschiedene Entwickler treffen und mit denen über Tor sprechen bzw. programmieren.

 

Da ich vorhin über die TED-Konferenz schrieb, schiebe ich hier noch ein Video nach. Kakenya Ntaiya erzählt ihre Geschichte. Sie besuchte auf den Willen ihrer Mutter die Schule und erkannte den Wert der Bildung für sich. Heute errichtet sie Schulen und versucht ihre Idee weiterzutragen. Es ist schon erschreckend zu hören, was ihr bzw. ihrer Mutter wiederfahren ist.

Ich schaue mir gern diverse TED-Vorträge an. Die TED steht für Technology, Entertainment und Design. Die Konferenz will hochklassige Vorträge bieten. Viele davon sind inspirierend, bringen neue Ideen mit oder sind einfach unterhaltsam. Bisher sind mir noch keine schlechten Vorträge untergekommen, höchstens welche, die mich nicht interessieren. Kürzlich lief mir der Artikel »When TED Lost Control of Its Crowd« vom Harvard Business Review über den Weg. Der Autor schrieb von zwei Lokal-Konferenzen, wo höchst fragwürdige Vorträge geboten wurden. Allerdings beschreibt der Artikel sehr gut, wie die Organisatoren der TED darauf reagierten und wie es weiterging. Anstatt nämlich den Kopf in den Sand zu stecken, haben Sie über verschiedene Plattformen mit den Hörern diskutieret und Lehren gezogen.

Der Artikel ist zwar recht lang, aber eine lohnenswerte Lektüre.